Lineare Algebra Beispiele

$2 x - 8 y = 4$ , $x - 4 y = 2$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 & 4 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 1 - 1 & - 4 + 4 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - 4 y = 2$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 2 - x$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 2 - x$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 2 - x$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- x}{- 4}$

Schritt 4.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - \frac{1}{2} + \frac{x}{4})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{2} + \frac{x}{4} \end{array}]$